Question

已知圓C的圓心在直線y=x+1上，且過點(diǎn)A（1，3），與直線x+2y-7=0相切．
（1）求圓C的方程；
（2）設(shè)直線l：ax-y-2=0（a＞0）與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）在（Ⅱ）的條件下，是否存在實(shí)數(shù)a，使得弦AB的垂直平分線l過點(diǎn)P（-2，4），若存在，求出實(shí)數(shù)a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)為（t，t+1），半徑為r，則圓的方程可得，根據(jù)題意把點(diǎn)A代入圓方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求得圓心到直線的距離等于半徑聯(lián)立方程求得t和r，則圓的方程可求得．
（2）把直線方程代入圓的方程，消去y整理利用判別式大于0求得a的范圍．
（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，由于a≠0，則直線l的斜率為-

1

a

，則l的方程可得，把圓心代入求得a，根據(jù)（2）中的范圍可知a不符合題意，進(jìn)而可判斷出不存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．

解答：解：（1）解：設(shè)圓心坐標(biāo)為（t，t+1），半徑為r，則圓的方程為（x-t）²+（y-t-1）²=r²
依題意可知

(1-t)2+(2-t) 2=r2 |t+2t+2|-7 5 =r

求得t=0，r=

5

∴圓的方程為x²+（y-1）²=5；

（2）把直線ax-y-2=0即y=ax-2代入圓的方程，消去y整理，得
（a²+1）x²-6ax+4=0．由于直線ax-y+5=0交圓于A，B兩點(diǎn)，
故△=36a²-16（a²+1）＞0．即5a²-4＞0，由于a＞0，解得a＞

2 5

5

．
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

2 5

5

，+∞）．

（3）設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在，由于a≠0，則直線l的斜率為-

1

a

，
l的方程為y=-

1

a

（x+2）+4，即x+ay+2-4a=0．
由于l垂直平分弦AB，故圓心M（0，1）必在l上．
所以0+a+2-4a=0，解得a=

2

3

．
由于

2

3

∉(

2 5

5

，+∞)，
故不存在實(shí)數(shù)a，使得過點(diǎn)P（-2，4）的直線l垂直平分弦AB．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與的方程的綜合運(yùn)用．考查了考生綜合分析問題和解決問題的能力．