已知VC是△ABC所在平面的一條斜線，點(diǎn)N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上.AB =a，VC與AB之間的距離為h，點(diǎn)M∈VC.

（Ⅰ）證明∠MDC是二面角M－AB－C的平面角；

（Ⅱ）當(dāng)∠MDC =∠CVN時(shí)，證明VC⊥平面AMB；

（Ⅲ）若∠MDC =∠CVN =θ（），求四面體MABC的體積.

 

答案：
解析：

（Ⅰ）證明：

由已知，

CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，平面ABC，

∴VN⊥AB.

∴AB⊥平面VNC.

又 V、M、N、D都在VNC所在的平面內(nèi)，

所以，DM與VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥CD，

∴∠MDC為二面角M－AB－C的平面角.

（Ⅱ）證明：

由已知，∠MDC =∠CVN，

在△VNC與△DMC中，

∠NCV =∠MCD，

又∵∠VNC =90º，

∴ ∠DMC =∠VNC =90º，

故有DM⊥VC，又AB⊥VC，

∴ VC⊥平面AMB.

（Ⅲ）解：

由（Ⅰ）、（Ⅱ），

MD⊥AB，MD⊥VC，且D∈AB，M∈VC，

∴ MD =h.

又 ∵ ∠MDC  =θ.

在Rt△MDC中，

CM =

V四面體MABC  =V三棱錐C－ABM

.

 


練習(xí)冊系列答案
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arccos
1
4
（等）
arccos
1
4
（等）
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求證：VC⊥平面AMB．

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