Question

設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，且a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

16 (1+an)(5+an) ，n為奇數(shù) 15×22n-3，n為偶數(shù)

，求數(shù)列{b_n}的前2n項(xiàng)和T_2n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接根據(jù)已知條件，建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．
（2）利用分類的方法和裂項(xiàng)相消的方法求數(shù)列的和．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
∵a₂，a₅，a₁₄構(gòu)成等比數(shù)列，
∴a22=a₂a₁₄，
即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
解得d=0（舍去），或d=2．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）由（Ⅰ）得bn=

4 n(n+2) ，n為奇數(shù) 15×22n-3，n為偶數(shù)

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=

4

n(n+2)

=2(

1

n

-

1

n+2

)，
②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，b_n是等比數(shù)列，直接利用求和公式求解．
所以T2n=2(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)+15(21+25+…+24n-3)
=2-

2

2n+1

+15×

2(1-16n)

1-16

=24n+1-

2

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，利用分類法求數(shù)列的和，裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和．屬于基礎(chǔ)題型．