Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|+|x+a|．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＞6；
（Ⅱ）若關(guān)于x的不等式f（x）＜a2﹣1有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)， ． 當(dāng)x＞2時(shí)，可得2x＞6，解得x＞3．
當(dāng)﹣2≤x≤2時(shí)，因?yàn)?＞6不成立，故此時(shí)無解；
當(dāng)x＜﹣2時(shí)，由﹣2x＞6得，x＜﹣3，故此時(shí)x＜﹣3．
綜上所述，不等式f（x）＞6的解集為（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）．
（Ⅱ）∵f（x）=|x﹣a|+|x+a|≥|x﹣a﹣x﹣a|=|2a|，
要使關(guān)于x的不等式f（x）＜a2﹣1有解，只需|2a|＜a2﹣1即可．
當(dāng)a≥0時(shí)，2a＜a2﹣1，解得 ，或 （舍去）；
當(dāng)a＜0時(shí)，﹣2a＜a2﹣1，解得 （舍去），或 ；
所以，a的取值范圍為
【解析】（I）討論x的范圍，去絕對(duì)值符號(hào)解出；（II）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求出fmin（x），令fmin（x）＜a2﹣1解出．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的絕對(duì)值不等式的解法，需要了解含絕對(duì)值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào)才能得出正確答案．