Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和a_n+1=2a_n+2，且a₁=2，數(shù)列為等比數(shù)列，且b₁=2，b₄=4
（1）求{a_n}、{b_n}的通項公式
（2）已知c_n=a_n+2，求{c_n•b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

解：（1）∵a_n+1=2a_n+2，
∴a_n+1+2=2（a_n+2），
∴，
∵a₁=2，
∴a₁+2=4，
∴{a_n+2}是以4為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
∴a_n+2=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
∴a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∵數(shù)列為等比數(shù)列，
∴{b_n}是等差數(shù)列，
∵b₁=2，b₄=4，
∴2+3d=4，
d=，
∴=．
（2）∵a_n=2ⁿ⁺¹-2．
∴c_n=a_n+2=2ⁿ⁺¹，
∴c_n•b_n==，
∴+，①
∴，②
①-②，得
=8+
=8+×
=8+2ⁿ⁺¹-4-
=4-，
∴．
分析：（1）由a_n+1=2a_n+2，知，再由a₁=2，得到a_n=2ⁿ⁺¹-2．數(shù)列為等比數(shù)列，{b_n}是等差數(shù)列，由b₁=2，b₄=4，能求出{b_n}的通項公式．
（2）c_n=a_n+2=2ⁿ⁺¹，c_n•b_n==，所以+，再由錯位相減法能求出{c_n•b_n}的前n項和S_n．
點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法和{c_n•b_n}的前n項和S_n．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意構(gòu)造法和錯位相減法的靈活運用．