(1)拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,又知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4,2),求拋物線的方程;

(2)已知拋物線C:x2=2py(p>0)上一點(diǎn)A(m,4)到其焦點(diǎn)的距離為,求p與m的值.

 

(1)y2=x或x2=8y.(2)m=±2.

【解析】

試題分析:(1)對(duì)稱軸分為是x軸和y軸兩種情況,分別設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px和x2=﹣2py,然后將P點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程,

(2)根據(jù)拋物線的定義利用點(diǎn)A(m,4)到其焦點(diǎn)的距離求得p,拋物線方程可得,進(jìn)而把點(diǎn)P代入求得m.

【解析】
(1)∵拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸,

∴拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程.

又∵點(diǎn)P(4,2)在第一象限,

∴拋物線的方程設(shè)為y2=2px,x2=2py(p>0).

當(dāng)拋物線為y2=2px時(shí),則有22=2p×4,故2p=1,y2=x;

當(dāng)拋物線為x2=2py時(shí),則有42=2p×2,故2p=8,x2=8y.

綜上,所求的拋物線的方程為y2=x或x2=8y.

(2)由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程y=﹣,根據(jù)拋物線定義,點(diǎn)A(m,4)到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離,即4+=,解得p=;∴拋物線方程為:x2=y,將A(m,4)代入拋物線方程,解得m=±2.

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