Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx（a≠0）的導(dǎo)函數(shù)f'（x）=-2x+7，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及S_n的最大值；
（II）令，其中n∈N^*，求{nb_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)即可得到a與b的值，然后把P_n（n，S_n）代入到f（x）中得到S_n=-n²+7n，利用a_n=S_n-S_n-1得到通項(xiàng)公式，令a_n=-2n+8≥0得到n的范圍即可求出S_n的最大值；
（II）由題知，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為8，公比是的等比數(shù)列，表示出{nb_n}的各項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求出{nb_n}的前n項(xiàng)和即可．
解答：解：（I）∵f（x）=ax²+bx（a≠0），∴f'（x）=2ax+b
由f'（x）=-2x+7得：a=-1，b=7，所以f（x）=-x²+7x
又因?yàn)辄c(diǎn)P_n（n，S_n）（n∈N^*）均在函數(shù)y=f（x）的圖象上，所以有S_n=-n²+7n
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=6
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-2n+8，∴a_n=-2n+8（n∈N^*）
令a_n=-2n+8≥0得n≤4，∴當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值12
綜上，a_n=-2n+8（n∈N^*），當(dāng)n=3或n=4時(shí)，S_n取得最大值12

（II）由題意得
所以，即數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為8，公比是的等比數(shù)列，
故{nb_n}的前n項(xiàng)和T_n=1×2³+2×2²++n×2^-n+4①
②
所以①-②得：
∴
點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生利用做差法求等差數(shù)列通項(xiàng)公式的能力，以及掌握用錯(cuò)項(xiàng)相減的方法求數(shù)列前n項(xiàng)的和．考查學(xué)生求導(dǎo)數(shù)的能力，以及靈活運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來(lái)解決問題．