Question

已知：四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠A=90°，且AB∥CD，CD，點F在線段PC上運動．
（1）當F為PC的中點時，求證：BF∥平面PAD；
（2）設，求當λ為何值時有BF⊥CD．

Answer 1

解：（1）取CD中點E，連接EF．∵是PC中點，∴EF∥PD．
∵EF?平面PAD，PD⊆平面PAD，∴EF∥平面PAD．
∵，AB∥CD，∴DE∥AB且DE=AB，∴BE∥AD．
∵BE?平面PAD，AD⊆平面PAD，∴BE∥平面PAD．
∵EF⊆平面BEF，BE⊆平面BEF，EF∩BE=E，∴平面BEF∥平面PAD．
而BF⊆平面BEF，∴BF∥平面PAD．
（2）當λ=1，即F為PC中點時有BF⊥CD．
∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD．
∵∠A=90°，AB∥CD，∴CD⊥AD．
∵PA⊆平面PAD，AD⊆平面PAD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．由 （1）知平面PAD∥平面BEF，
∴CD⊥平面BEF．
∵BF⊆平面BEF，∴CD⊥BF．
分析：（1）取CD中點E，連接EF，先證明平面BEF∥平面PAD，方法是由EF∥平面PAD和BE∥平面PAD，線面平行推出面面平行，再由面面平行的定義可得所證線面平行
（2）由（1）可知BE⊥CD，若BF⊥CD，則定有CD⊥平面BEF，而CD⊥平面PAD，故有平面BEF∥平面PAD，從而由面面垂直的性質(zhì)定理可推知EF∥PD，從而斷定F為PC中點，即λ=1
點評：本題考察了線面平行的證明方法，及空間垂直關系的證明與應用，解題時要熟練的在線線、線面、面面關系中互相轉(zhuǎn)換．