Question

(本小題滿分12分)如圖所示是某水產(chǎn)養(yǎng)殖場的養(yǎng)殖大網(wǎng)箱的平面圖，四周的實線為網(wǎng)衣，為避免混養(yǎng)，用篩網(wǎng)(圖中虛線)把大網(wǎng)箱隔成大小一樣的小網(wǎng)箱．

(1)若大網(wǎng)箱的面積為108平方米，每個小網(wǎng)箱的長x，寬y設(shè)計為多少米時，才能使圍成的網(wǎng)箱中篩網(wǎng)總長度最��；

(2)若大網(wǎng)箱的面積為160平方米，網(wǎng)衣的造價為112元/米，篩網(wǎng)的造價為96元/米，且大網(wǎng)箱的長與寬都不超過15米，則小網(wǎng)箱的長、寬為多少米時，可使總造價最低？

 

Answer 1

【答案】

(1)每個小網(wǎng)箱的長與寬分別為與4.5米與3米時，網(wǎng)箱中篩網(wǎng)的總長度最小．

(2)當(dāng)小網(wǎng)箱的長與寬分別為米與米時，可使總造價最低．

【解析】

試題分析：（1）將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，出現(xiàn)乘積是定值，且等號能取到，利用基本不等式求最值．

（2）將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，出現(xiàn)乘積是定值，但等號取不到，不能用基本不等式求最值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性求最值．

(1)設(shè)小網(wǎng)箱的長、寬分別為x、y米，篩網(wǎng)總長度為L，

依題意4x·2y＝108，即xy＝，L＝4x＋6y. ……1分

因為4x＋6y＝2(2x＋3y)≥4＝36，所以L≥36. ………3分

當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3y時，等號成立，

解方程組得……5分

即每個小網(wǎng)箱的長與寬分別為與4.5米與3米時，網(wǎng)箱中篩網(wǎng)的總長度最�。�………6分

(2)設(shè)總造價為W元，則由4x·2y＝160，得xy＝20. ……7分

因為4x≤15,2y≤15，所以x≤，y≤.

又因為y＝≤.

所以≤x≤.……8分

W＝(8x＋4y)·112＋(4x＋6y)·96＝·112＋·96＝1 280.……9分

求導(dǎo)，可得W(x)在上單調(diào)遞減．……10分

所以當(dāng)x＝時，W最小，此時x＝，y＝.……11分

即當(dāng)小網(wǎng)箱的長與寬分別為米與米時，可使總造價最低．………12分

考點：本試題主要考查了在實際問題中，運用均值不等式求解最值的運用。

點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用基本不等式請求函數(shù)的最值是一定注意使用的條件：一正；二定；三相等．當(dāng)然也可以運用函數(shù)的思想求解導(dǎo)數(shù)得到最值，兩者要合理使用。