Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x-

π

3

）-2sin²x+1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可求得f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），于是可求得函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）x∈[0，

π

2

]⇒2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值可求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

+cos2x
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x
=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）
=

3

sin（2x+

π

3

）
∴f（x）的最小正周期為π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），
∴當(dāng)x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
當(dāng)2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

時，函數(shù)f（x）取最大值

3

，當(dāng)2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

時，函數(shù)f（x）取最小值-

3

2

，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為

3

，最小值為-

3

2

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．