Question

定義在區(qū)間[0，a]上的函數(shù)f（x）的圖象如右下圖所示，記以A（0，f（0）），B（a，f（a）），C（x，f（x））為頂點(diǎn)的三角形面積為S（x），則函數(shù)S（x）的導(dǎo)函數(shù)S'（x）的圖象大致是（　�。�

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：先分析出函數(shù)S（x）的表達(dá)式為S△ABC=

1

2

×AB×h，其中AB為定值，h為點(diǎn)C到AB的距離，再利用h在區(qū)間[0，a]上的變化情況，得出函數(shù)S（x）的增減變化，即可得到其導(dǎo)函數(shù)S′（x）的圖象．

解答：解：如圖，連接AB，BC，AC
設(shè)點(diǎn)C到AB的距離為h，則△ABC的面積S△ABC=

1

2

×AB×h，其中AB為定值
當(dāng)點(diǎn)C沿著曲線從A運(yùn)動(dòng)到B，h是連續(xù)變化，這樣S（x）也是連續(xù)變化，所以面積函數(shù)S（x）肯定在[0，a]上可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)是連續(xù)的．從而排除B和D；
當(dāng)x∈（0，m]時(shí)，點(diǎn)C從點(diǎn)A出發(fā)，距離h越來越大，故S（x）遞增，所以S'（x）＞0；
當(dāng)x∈（m，n]時(shí)，距離h越來越小，故S（x）遞減，所以S'（x）＜0；
當(dāng)x∈（n，e]時(shí)，距離h越來越大，故S（x）遞增，所以S'（x）＞0；
當(dāng)x∈（e，a]時(shí)，距離h越來越小，故S（x）遞減，所以S'（x）＜0．
故選C

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系．