Question

若直線l與曲線C滿足下列兩個條件：（i）直線l在點P（x₀，y₀）處與曲線C相切；（ii）曲線C在點P附近位于直線l的兩側，則稱直線l在點P處“切過”曲線C．下列命題正確的是

 

（寫出所有正確命題的編號）
①直線l：y=0在點P（0，0）處“切過”曲線C：y=x³．
②直線l：y=x-1在點P（1，0）處“切過”曲線C：y=lnx．
③直線l：y=-x+π在點P（π，0）處“切過”曲線C：y=sinx．
④直線l：y=x+1在點P（0，1）處“切過”曲線C：y=e^x．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：分別求出每一個命題中曲線C的導數，得到曲線在點P出的導數值，求出曲線在點P處的切線方程，再由曲線在點P兩側的函數值與對應直線上點的值的大小判斷是否滿足（ii），則正確的選項可求．

解答： 解：①，由y=x³，得y′=3x²，則y′|_x=0=0，直線y=0是過點P（0，0）的曲線C的切線，
又當x＞0時y＞0，當x＜0時y＜0，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=0兩側，故命題①正確；
②由y=lnx，得y′=

1

x

，則y′|_x=1=1，曲線在P（1，0）處的切線為y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得g′（x）=1-

1

x

，當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，
g′（x）＞0．則g（x）在（0，+∞）上有極小值也是最小值，為g（1）=0．
即y=x-1恒在y=lnx的上方，不滿足曲線C在點P附近位于直線l的兩側，故命題②錯誤，
③由y=sinx，得y′=cosx，則y′|_x=π=-1，直線y=-x+π是過點P（0，0）的曲線的切線，
又x∈（-

π

2

，0）時x＜sinx，x∈（0，

π

2

）時x＞sinx，滿足曲線C在P（0，0）附近位于直線y=-x+π兩側，故命題③正確；
④函數y=e^x的導數f′（x）=y=e^x，則f′（0）=1，則切線方程為y=x+1，
設g（x）=e^x-（x+1），則g′（x）=e^x-1，當x＞0，g′（x）＞0，函數g（x）遞增，
當x＜0時，g′（x）＜0，函數g（x）遞減，
則當x=0時，函數取得極小值同時也是最小值g（0）=1-1=0，
則g（x）≥g（0）=0，即e^x≥x+1，則曲線不在切線的兩側，故④錯誤．
故答案為：①③

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查了利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，綜合考查導數的應用．