Question

（考生注意：從下列三題中任選一題，多選的只按照第一題計(jì)分）
①對(duì)任意x∈R，|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，則a滿足    ．
②在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，-）到直線l：ρsin（）=1的距離是    ；
③如圖，點(diǎn)P在圓O直徑AB的延長(zhǎng)線上，且PB=OB=2，PC切圓O于點(diǎn)C，CD⊥AB于點(diǎn)D，則CD=    ．

Answer 1

【答案】分析：①|(zhì)2-x|+|3+x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，它的最小值等于5，故有5≥a²-4a，解此不等式，求得a的取值范圍．
②點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，然后用點(diǎn)到直線的距離來解．
③在圓中線段利用由切線定理求得∠PCO=90°，進(jìn)而利用直角三角形PCO中的線段，結(jié)合解三角形求得CD即可．
解答：解：①對(duì)任意x∈R，|2-x|+|3+x|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-3、2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
它的最小值等于5，
要使|2-x|+|3+x|≥a²-4a恒成立，5≥a²-4a，
解得-1≤a≤5，故a的取值范圍是[-1，5]，
故答案為[-1，5]．
②：在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，-）化為直角坐標(biāo)為（ ，-1），
直線ρsin（θ-）=1化為x-y+2=0，
P（ ，-1）到x-y+2=0的距離，
即為P到直線ρsin（θ-）=1的距離，所以距離為 =+1．
故答案為：+1．
③：∵PC是圓O的切線，
∴∠PCO=90°，
在直角三角形PCO中，PB=BO，
∴PO=2OC，
從而∠POC=60°，
在直角三角形OCD中，CO=2，
∴CD=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：①本題主要考查指數(shù)不等式對(duì)數(shù)不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．②本題關(guān)鍵是直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化，體現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想．③此題考查的是直角三角形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、與圓有關(guān)的比例線段，屬于基礎(chǔ)題．