Question

如圖，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），離心率．
（l）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線x=my+1與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′（A′與B不重合），則直線A′B與x軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫出定點(diǎn)坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點(diǎn)（0，1）代入橢圓方程求得a和b的關(guān)系，利用離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而聯(lián)立方程求得a和b，則橢圓的方程可得
（2）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，則A′的坐標(biāo)可推斷出，利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，進(jìn)而可表示出A′B的直線方程，把y=0代入求得x的表達(dá)式，把x₁=my₁+1，x₂=my₂+1代入求得x=4，進(jìn)而可推斷出直線A′B與x軸交于定點(diǎn)（4，0）．
解答：解：（1）依題意可得，解得a=2，b=1．
所以，橢圓C的方程是；
（2）由
得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則A′（x₁，-y₁）．
且．
經(jīng)過(guò)點(diǎn)A′（x₁，-y₁），
B（x₂，y₂）的直線方程為．
令y=0，則
又∵x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．∴當(dāng)y=0時(shí)，
這說(shuō)明，直線A′B與x軸交于定點(diǎn)（4，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查了學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．