如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，點E為線段PB的中點，點M在AB弧上，且OM∥AC．
（1）求證：平面MOE∥平面PAC；
（2）求證：BC⊥平面PAC；
（3）求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值．

（1）證明：因為點E為線段PB的中點，點O為線段AB的中點，所以O(shè)E∥PA …（1分）
因為PA?平面PAC，OE?平面PAC，所以O(shè)E∥平面PAC．…（2分）
因為OM∥AC，因為AC?平面PAC，OM?平面PAC，所以O(shè)M∥平面PAC．…（3分）
因為OE∩OM=O，所以平面MOE∥平面PAC …（5分）
（2）證明：因為點C在以AB為直徑的⊙O上，所以∠ACB=90°，即BC⊥AC，
因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC．…（7分）
因為PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC；…（9分）
（3）解：由（2）知BC⊥面PAC，∴∠BPC為直線PB與平面PAC所成的角．…（10分）
在Rt△PAC中，，
在Rt△ABC中，，
在Rt△PBC中，…（12分）
∴．
∴直線PB與平面PAC所成的角的正弦值為…（14分）
分析：（1）先證明OE∥平面PAC、OM∥平面PAC，再利用面面平行的判定，可得平面MOE∥平面PAC；
（2）利用線線垂直證明線面垂直；
（3）由（2）知BC⊥面PAC，可得∠BPC為直線PB與平面PAC所成的角，求出BC、PB的值可得結(jié)論．
點評：本題考查面面平行，考查線面垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是掌握面面平行、線面垂直的判定方法，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PA=AB=2，N為PC的中點．
（1）求證：BD⊥平面PAC．     
（2）求二面角B-AN-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的⊙O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，，點E為線段PB的中點，點M在AB弧上，且OM∥AC．
（1）求證：平面MOE∥平面PAC；
（2）求證：BC⊥平面PAC；
（3）求直線PB與平面PAC所成的角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=
6
，AD=2，BC=
3
2
，∠ADC=60°，O為四棱錐P-ABCD內(nèi)一點，AO=1，
若DO與平面PCD成角最小角為α，則α=（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，且2PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點．
（Ⅰ）求異面直線EF與AG所成角的余弦值；
（Ⅱ）求證：BC∥面EFG；
（Ⅲ）求三棱錐E-AFG的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，PA⊥平面ABCD，ABCD是邊長為1的正方形．點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．
（1）當(dāng)點E為BC的中點時，試在AB上找一點G，使得平面PAC∥平面EFG．求此時AG的長度；
（2）證明：無論點E在邊BC的何處，都有PE⊥AF．

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