設(shè)函數(shù)，．

（1）當時，函數(shù)取得極值，求的值；

（2）當時，求函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最大值；

（3）當時，關(guān)于的方程有唯一實數(shù)解，求實數(shù)的值．

 

【答案】

（1）；（2）時，取最大值；（3）．

【解析】

試題分析：（1）先求出，因為當時，函數(shù)取得極值，所以，從而求出；（2）根據(jù)判斷函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的單調(diào)性，從而判斷出最大值點，求出最大值；（3）由題意可知，方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，設(shè)，則函數(shù)圖像與軸有且只有一個交點，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，可知函數(shù)存在極小值即為最小值，最小值為，從中求出．

試題解析：

（1）的定義域為，所以．因為當時，函數(shù)取得極值，所以，所以．經(jīng)檢驗，符合題意．

（2），令得，

因為，所以，即在[1，2]上單調(diào)遞增，

所以時，取最大值．

（3）因為方程有唯一實數(shù)解，

所以有唯一實數(shù)解，

設(shè)，則，

令，因為，，

所以（舍去），，

當時，，在上單調(diào)遞減，

當時，，在上單調(diào)遞增，

所以當時，取最小值，則   即，

所以，因為，所以（*），設(shè)函數(shù)，

因為當時，是增函數(shù)，所以至多有一解．

因為，所以方程（*）的解為，

即，解得．

考點：本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，突出考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2(x∈R)．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）當x∈（1，+∞）時，用數(shù)學(xué)歸納法證明：?n∈N*，ex-1＞
xn
n!
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x
x+1
(x＞0)，觀察：f1(x)=f(x)=
x
x+1
，f2(x)=f(f1(x))=
x
2x+1
，f3(x)=f(f2(x))=
x
3x+1
，f4(x)=f(f3(x))=
x
4x+1
，根據(jù)以上事實，由歸納推理可得：當n∈N+且n≥2時，fn（x）=f（fn-1（x））=
x
nx+1
x
nx+1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且b2+c2-a2=bc．向量
m
=(
3
sin
x
2
，1)  ，
n
=(cos
x
2
，cos2
x
2
)
（Ⅰ）求角A的大��；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f(x)=
m
•
n
，當f（B）取最大值
3
2
時，判斷△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
x2+1
-ax，其中a＞0．
（1）解不等式f（x）≤1
（2）求證：當a≥1時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)函數(shù)
（3）求使f（x）＞0對一切x∈R*恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
a
3
x3+
1-a
2
x2-x，a∈R．
（1）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當a≠-1時，求函數(shù)f（x）的極小值．

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