設(shè)函數(shù),
.
(1)當時,函數(shù)
取得極值,求
的值;
(2)當時,求函數(shù)
在區(qū)間[1,2]上的最大值;
(3)當時,關(guān)于
的方程
有唯一實數(shù)解,求實數(shù)
的值.
(1);(2)
時,
取最大值
;(3)
.
【解析】
試題分析:(1)先求出,因為當
時,函數(shù)
取得極值,所以
,從而求出
;(2)根據(jù)
判斷函數(shù)
在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性,從而判斷出最大值點,求出最大值;(3)由題意可知,方程
有唯一實數(shù)解,所以
有唯一實數(shù)解,設(shè)
,則函數(shù)
圖像與
軸有且只有一個交點,根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,可知函數(shù)存在極小值即為最小值,最小值為
,從中求出
.
試題解析:
(1)的定義域為
,所以
.因為當
時,函數(shù)
取得極值,所以
,所以
.經(jīng)檢驗,
符合題意.
(2),令
得
,
因為,所以
,即
在[1,2]上單調(diào)遞增,
所以時,
取最大值
.
(3)因為方程有唯一實數(shù)解,
所以有唯一實數(shù)解,
設(shè),則
,
令,因為
,
,
所以(舍去),
,
當時,
,
在
上單調(diào)遞減,
當時,
,
在
上單調(diào)遞增,
所以當時,
取最小值
,則
即
,
所以,因為
,所以
(*),設(shè)函數(shù)
,
因為當時,
是增函數(shù),所以
至多有一解.
因為,所以方程(*)的解為
,
即,解得
.
考點:本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,突出考查了數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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