Question

設(shè)方程xlnx=2013的解為α，方程xe^x=2013的解為β，則α•β的值為________．

Answer 1

2013
分析：由已知可得α是函數(shù)f（x）=lnx的圖象與函數(shù)h（x）=的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，同理β是函數(shù)g（x）=e^x的圖象與函數(shù)h（x）=的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而函數(shù)f（x）=lnx與函數(shù)g（x）=e^x互為反函數(shù)，互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，據(jù)此可得到答案．
解答：由方程xlnx=2013，得，
∵α為方程xlnx=2013的解，∴α是函數(shù)f（x）=lnx的圖象與函數(shù)h（x）=的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是兩個函數(shù)的交點(diǎn)為P；
同理β是函數(shù)g（x）=e^x的圖象與函數(shù)h（x）=的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是兩個函數(shù)的交點(diǎn)為Q；
∵函數(shù)f（x）=lnx與函數(shù)g（x）=e^x互為反函數(shù)，
∴點(diǎn)P與Q關(guān)于直線y=x對稱，
∴，即αβ=2013．
故答案為2013．
點(diǎn)評：本題考查方程的解，其實(shí)質(zhì)是考查互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱．