Question

已知函數(shù)f（x）=（

1

2

m²-m）x²+m+1．
（1）若函數(shù)y=lgf（x）的定義域為R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）設(shè)命題p：?x∈[

1

2

，2]，f（x）≥3．若命題p為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得(

1

2

m2-m)x2+m+1＞0的解集為R．若

1

2

m2-m=0，即m=0或m=2，均符合題意；若

1

2

m2-m≠0，則

1 2 m2-m＞0 m+1＞0

解不等式，綜合可得；（2）問題等價于(

1

2

m2-m)x2+m-2≥0在x∈[

1

2

，2]上恒成立．設(shè)h(x)=(

1

2

m2-m)x2+m-2，分

1

2

m2-m=0，

1

2

m2-m＞0，

1

2

m2-m＜0，可得m的范圍，取其補集即可．

解答： 解：（1）由函數(shù)y=lgf（x）的定義域為R可知(

1

2

m2-m)x2+m+1＞0的解集為R．
若

1

2

m2-m=0，即m=0或m=2，均符合題意；
若

1

2

m2-m≠0，則

1 2 m2-m＞0 m+1＞0

，解得-1＜m＜0或m＞2．
綜上，實數(shù)m的取值范圍是（-1，0]∪[2，+∞）；
（2）若命題p為真命題，則(

1

2

m2-m)x2+m-2≥0在x∈[

1

2

，2]上恒成立．
設(shè)h(x)=(

1

2

m2-m)x2+m-2，
若

1

2

m2-m=0，即m=0或m=2，代入知m=2符合；
若

1

2

m2-m＞0，則h(

1

2

)≥0，即

1

4

×(

1

2

m2-m)+m-2≥0，解得m≤-8或m＞2；
若

1

2

m2-m＜0，則h（2）≥0，即4(

1

2

m2-m)+m-2≥0，無解．
綜上，若命題p為真命題，實數(shù)m的取值范圍是m≤-8或m≥2，
∴當命題p為假命題時，實數(shù)m的取值范圍是（-8，2）．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及分類討論和函數(shù)的值域，屬基礎(chǔ)題．