Question

設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

解：因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/523499.png' />，所以．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，，，
所以f（0）=1，f'（0）=1．
所以曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線(xiàn)方程為x-y+1=0．…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/523503.png' />，…（5分）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，由f'（x）＞0得x＜0；由f'（x）＜0得x＞0．
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）單調(diào)遞增，在區(qū)間（0，+∞）單調(diào)遞減．…（6分）
（2）當(dāng)a≠0時(shí)，設(shè)g（x）=ax²-2x+a，方程g（x）=ax²-2x+a=0的判別式△=4-4a²=4（1-a）（1+a），…（7分）
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，此時(shí)△＞0．
由f'（x）＞0得，或；
由f'（x）＜0得．
所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是和，
單調(diào)遞減區(qū)間．…（9分）
②當(dāng)a≥1時(shí)，此時(shí)△≤0．所以f'（x）≥0，
所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，+∞）．…（10分）
③當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，此時(shí)△＞0．
由f'（x）＞0得；
由f'（x）＜0得，或．
所以當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是和，
單調(diào)遞增區(qū)間．…（12分）
④當(dāng)a≤-1時(shí)，此時(shí)△≤0，f'（x）≤0，所以函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，+∞）．…（13分）
分析：（I）先求導(dǎo)數(shù)f'（x），欲求出切線(xiàn)方程，只須求出其斜率即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=0處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線(xiàn)的斜率，從而問(wèn)題解決．
（II）對(duì)字母a進(jìn)行分類(lèi)討論，再令f'（x）大于0，解不等式，可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間．
點(diǎn)評(píng)：本題以三次函數(shù)為載體，主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線(xiàn)上某點(diǎn)切線(xiàn)方程、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．