Question

（2011•韶關(guān)模擬）某出版社新出版一本高考復(fù)習(xí)用書，該書的成本為5元/本，經(jīng)銷過程中每本書需付給代理商m元（1≤m≤3）的勞務(wù)費(fèi)，經(jīng)出版社研究決定，新書投放市場后定價(jià)為x元/本（9≤x≤11），預(yù)計(jì)一年的銷售量為（20-x）²萬本．
（1）求該出版社一年的利潤L（萬元）與每本書的定價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每本書的定價(jià)為多少元時(shí)，該出版社一年的利潤L最大，并求出L的最大值R（m）．

Answer 1

分析：（1）該出版社一年的利潤L（萬元）為每本書的利潤與一年的銷售量的積，故可得函數(shù)解析式；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而分類討論確定函數(shù)的最值．

解答：解：（1）該出版社一年的利潤L（萬元）與每本書定價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式為：L=（x-5-m）（20-x）²，x∈[9，11]．…（4分）
（2）求導(dǎo)函數(shù)可得L′（x）=（20-x）（30+2m-3x）．…（6分）
令L′=0得x=10+

2

3

m或x=20（不合題意，舍去）．…（7分）
∵1≤m≤3，∴

32

3

≤10+

2

3

m≤12．
在x=10+

2

3

m兩側(cè)L′的值由正變負(fù)．
所以①當(dāng)

32

3

≤10+

2

3

m＜11，即1≤m＜

3

2

時(shí)，L_max=L（10+

2

3

m）=4（5-

m

3

）³．…（9分）
②當(dāng)11≤10+

2

3

m≤12，即

3

2

≤m≤3時(shí)，L_max=L（11）=81（6-m），…（11分）
所以R（m）=

4(5- m 3 )3，1≤m＜ 3 2 81(6-m)， 3 2 ≤m≤3

答：若1≤m＜

3

2

，則當(dāng)每本書定價(jià)為10+

2

3

m元時(shí)，出版社一年的利潤L最大，最大值R（m）=4（5-

m

3

）³（萬元）；若

3

2

≤m≤3，則當(dāng)每本書定價(jià)為11元時(shí)，出版社一年的利潤L最大，最大值R（m）=81（6-m）（萬元）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是確定函數(shù)的模型，屬于中檔題．