Question

數(shù)列的前n項和為,存在常數(shù)A,B,C,使得對任意正整數(shù)n都成立.

⑴若數(shù)列為等差數(shù)列,求證:3A B+C=0;

⑵若設(shè)數(shù)列的前n項和為,求;

⑶若C=0,是首項為1的等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前2014項和為P,求不超過P的最大整數(shù)的值.

 

Answer 1

（1）詳見解析，（2），（3）2014.

【解析】

試題分析：（1）研究特殊數(shù)列問題，一般從其特征量出發(fā). 因為為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由,得,根據(jù)恒等式對應(yīng)項系數(shù)相等得：所以代入得：. （2）本題實質(zhì)為求通項. 因為,所以,當時,, 所以即 即,而,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以.由錯位相減法得，（3）因為是首項為的等差數(shù)列,由⑴知,公差,所以.化簡數(shù)列通項，再由裂項相消法得，所以不超過的最大整數(shù)為2014.

解 ⑴因為為等差數(shù)列,設(shè)公差為,由,

得, 2分

對任意正整數(shù)所以 4分

所以 . 6分

⑵ 因為,所以,

當時,,

所以即 即,而,

所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以. 9分

于是.所以①,,②

得.

所以. 12分

⑶ 因為是首項為的等差數(shù)列,由⑴知,公差,所以.

而

, 14分

所以不超過的最大整數(shù)為2014. 16分

考點：求數(shù)列通項，錯位相減法及裂項相消法求和