Question

【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，其中常數(shù)．

（1）若函數(shù)分別在區(qū)間上單調(diào)，試求的取值范圍；

（2）當(dāng)時，方程有四個不相等的實根．

①證明： ；

②是否存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，且的取值范圍為，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析，

【解析】試題分析：（1）結(jié)合對勾函數(shù)的特征，即可知,從而求出參數(shù)范圍；（2）當(dāng)時，方程即為或，由韋達(dá)定理可證明．結(jié)合函數(shù)圖像及其單調(diào)性，分類討論分別在四個單調(diào)區(qū)間內(nèi)去求解，最后求并集即可．

試題解析：（1）設(shè)

∵∴函數(shù)分別在區(qū)間上單調(diào) 且

要使函數(shù)分別在區(qū)間上單調(diào)

則只需

（2）①當(dāng)時， 或

即或

∵為方程的四個不相等的實根

∴由根與系數(shù)的關(guān)系得

②如圖，可知， 在、、、均為單調(diào)函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減

則兩式相除整理得

∵∴上式不成立 即無解， 無取值 10分

（Ⅱ）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增

則即在有兩個不等實根

而令則

作在的圖像可知， 12分

（Ⅲ）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞減

則兩式相除整理得

∴∴∴

由得

則關(guān)于的函數(shù)是單調(diào)的，而應(yīng)有兩個不同的解

∴此種情況無解

（Ⅳ）當(dāng)時，同（Ⅰ）可以解得無取值

綜上， 的取值范圍為