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已知函數f(x)=
a
3
x3+(-a)x2+x+1.
(1)若f(x)是(-∞,+∞)上是增函數,求a的取值范圍;
(2)若f(x)在x=x1及x=x2(x1,x2>0)處有極值,且1<
x2
x1
≤5,求a的取值范圍.
考點:利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值
專題:導數的綜合應用
分析:(1)求出函數的導數得不等式組
a>0
△=4a2-4a<0
,求出即可;
(2)求出x=x1及x=x2(x1,x2>0),得出1<
a+
a2-a
a+
a2+a
≤5,解不等式求出a的范圍即可.
解答: 解:(1)∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函數
∴f′(x)=ax2-2ax+1≥0在(-∞,+∞)恒成立,
a>0
△=4a2-4a<0
,解得:0<a<1,
∴a的取值范圍是(0,1);
(2)若f(x)在x=x1及x=x2(x1,x2>0)處有極值,
∴x1,x2 是方程ax2-2ax+1=0的2個根,
∴x1=a-
a2-a
,x2=a+
a2-a
,
∴1<
a+
a2-a
a+
a2+a
≤5,
解得:1<a≤
9
5
,
∴a的取值范圍是(1,
9
5
]
點評:本題考查了導數的應用,不等式的解法,本題屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

為使關于x的不等式|x-1|+|x-2|≤a2+a+1(a∈R)的解集在R上為空集,則a的取值范圍是( �。�
A、(0,1)
B、(-1,0)
C、(1,2)
D、(-∞,-1)

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科目:高中數學 來源: 題型:

函數y=
2x+1
x-3
的值域是( �。�
A、(-∞,3)∪(3,+∞)
B、(-∞,2)∪(2,+∞)
C、R
D、(-∞,2)∪(3,+∞)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)是奇函數,且滿足f(x+4)=f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x,求f(7.5).

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知
a
=(0,1,1),
b
=(-1,3,0),
(1)若k
a
-
b
a
+
b
互相垂直,求實數k的值;
(2)若
c
=(x,1,1),且|
b
-
c
|=
5
,求實數x的值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=2x+
1
2x

(1)判斷函數y=f(x)的奇偶性;
(2)分別指出函數f(x)在區(qū)間(0,2)和(-2,0)上的單調性并證明;
(3)分別指出函數f(x)在區(qū)間(2,4)和(-4,-2)上的單調性并證明;
(4)由此你發(fā)現了什么結論?

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科目:高中數學 來源: 題型:

求過點P(1,6),且分別滿足下列條件的直線方程:
(1)與直線x-3y+4=0垂直;
(2)與圓(x+2)2+(y-2)2=25相切.

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科目:高中數學 來源: 題型:

通過隨機詢問某校110名高中學生在購買食物時是否看營養(yǎng)說明,得到如下的2×2列聯表:
性別與看營養(yǎng)說明2×2列聯表    單位:名
總計
看營養(yǎng)說明503080
不看營養(yǎng)說明102030
總計6050110
(1)從這50名女生中按是否看營養(yǎng)說明采取分層抽樣,抽取一個容量為5的樣本,再從這5名女生樣本中隨機選取兩名作深度訪談,求選到看與不看營養(yǎng)說明的女生各一名的概率;
(2)根據以上2×2列聯表,問有多大把握認為“性別與在購買食物時看營養(yǎng)說明”有關?
統(tǒng)計量K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d).
概率表
p(K2≥k00.150.100.050.0250.010
k02.0722.7063.8415.0246.635

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)是二次函數且f(0)=-1,f(x+1)-f(x)=2x+2,求f(x)的解析式.

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