Question

設(shè)命題p：函數(shù)f(x)=lg(ax2-x+

a

16

)的定義域?yàn)镽；命題q：3^x-9^x＜a對(duì)一切的實(shí)數(shù)x恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題p，q成立的等價(jià)條件，利用p且q為假．確定實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：要使函數(shù)f(x)=1g(ax2-x+

a

16

)的定義域?yàn)镽，則不等式ax²-x+

a

16

＞0對(duì)于一切x∈R恒成立，
若a=0，則不等式等價(jià)為-x＞0，解得x＜0，不滿足恒成立．
若a≠0，則滿足條件

a＞0 △=1-4a× a 16 ＜0

，
即

a＞0 1- a2 4 ＜0

，解得

a＞0 a2＞4

，即a＞2，所以p：a＞2．
∵g（x）=3^x-9^x=-（3x-

1

2

） 2+

1

4

≤

1

4

，
∴要使3^x-9^x＜a對(duì)一切的實(shí)數(shù)x恒成立，
則a＞

1

4

，即q：a＞

1

4

．
要使p且q為假，則p，q至少有一個(gè)為假命題．
當(dāng)p，q都為真命題時(shí)，滿足

a＞2 a＞ 1 4

，即a＞2，
∴p，q至少有一個(gè)為假命題時(shí)有a≤2，
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題與簡(jiǎn)單命題之間的關(guān)系，利用條件先求出p，q成立的等價(jià)條件是解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵．將p且q為假，轉(zhuǎn)化為先求p且q為真是解決本題的一個(gè)技巧．