Question

【題目】已知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列.數(shù)列前項(xiàng)和為，且滿足

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列前項(xiàng)和；

（3）在數(shù)列中，是否存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的正整數(shù)的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3）在數(shù)列中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)的值為1.

【解析】

試題（1）顯然要分奇偶求解，用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）同（1）要按奇偶分別求和，即求的也就是分奇偶后的前n項(xiàng)和；（3）先假設(shè)存在這樣的連續(xù)三項(xiàng)按原來的順序成等差數(shù)列，即假設(shè) ，則，然后代入通項(xiàng)公式得，顯然不成立；再假設(shè)，則，然后代入通項(xiàng)公式得，解此方程要構(gòu)造新的方程，即令， ，故，只有 ，則僅存在連續(xù)的三項(xiàng)合題意.

試題解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，

則,

,

又，，解得,

∴對于，有,

故.

（2）.

（3）在數(shù)列中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)的值為1，下面說明理由.

若，則由，得,

化簡得，此式左邊為偶數(shù)，右邊為奇數(shù)，不可能成立.

若，則由，得,

化簡得.

令，則.

因此，，故只有，此時(shí).

綜上，在數(shù)列中，僅存在連續(xù)的三項(xiàng)，按原來的順序成等差數(shù)列，此時(shí)正整數(shù)的值為1