Question

函數(shù)f（x）=（1+x）²-ln（1+x）²．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+a在[0，2]恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）可以記g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，對其進(jìn)行求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)區(qū)間，將問題轉(zhuǎn)化為方程f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有兩個相異的實根，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍；

解答：解：（1）函數(shù)的定義域為（-∞，-1）∪（-1，+∞），
f（x）=2[（x+1）-

1

x+1

]-

2x(x+2)

x+1

由f′（x）＞0，得-2＜x＜-1或x＞0，
由f′（x）＜0，得x＜-2或-1＜x＜0，
所以f（x）的遞增區(qū)間是（-2，-1），（0，+∞）
遞減區(qū)間是（-∞，-2），（-1，0）
（2）方程f（x）=x2+x+a，即x-a+1-ln（1+x）²=0，
記g（x）=x-a+1-ln（1+x）2，則g′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，
由g′（x）＞0，得x＜-1，或x＞1；
由g′（x）＜0，得-1＜x＜1；
所以g（x）在[0，1]在上單調(diào)遞減，在[1，2]上單調(diào)遞增，
為使f（x）=x2+x+a在[0，2]上恰有兩個相異的實根，
只需g（x）=0在[0，1）和（1，2]上各有一個實根，于是有

g(0)≥0 g(1)＜0 g(2)≥0

即

-a+1≥0 2-a-2ln2＜0 3-a-2ln3≥0

，
解得2-2ln2＜a≤3-2lm3，
故實數(shù)a的取值范圍是（2-2ln2，3-2ln3]；

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減，還考查了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題；