Question

已知函數(shù)f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
（1）若f（x）在R上是增函數(shù)，求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)f（x）圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由絕對值的意義，按x≥-1和x＜-1兩種情況討論，將函數(shù)f（x）化成分段函數(shù)的形式，再根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性建立關(guān)于a的不等式，解之即可得出實數(shù)a的取值范圍；
（2）由（1）中求出f（x）分段函數(shù)的形式，可得若函數(shù)f（x）圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，則必須滿足：函數(shù)f（x）在R上先增后減，且最大值大于0；或函數(shù)f（x）在R上先減后增，且最小值小于0．再算出f（-1）=a是函數(shù)的最大值或最小值，建立關(guān)于a的不等式組，解之可得滿足條件的實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=2|x+1|+ax（x∈R）．
∴當(dāng)x≥-1時，f（x）=2x+2+ax=（a+2）x+2；當(dāng)x＜-1時，f（x）=-2x-2+ax=（a-2）x-2．
由此可得：f(x)=

(a+2)x+2，(x≥-1) (a-2)x-2，(x＜-1)

∵f（x）在R上為增函數(shù)，∴

a+2＞0 a-2＞0

，解之得a＞2．
故a的取值范圍為[2，+∞）
（2）∵f（-1）=2|-1+1|+a=a，∴y=f（x）的圖象總過（-1，-a），
因此，若函數(shù)f（x）圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，
則函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，+∞）上為減函數(shù)，最大值大于0；
或函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為減函數(shù)，在（-1，+∞）上為增函數(shù)，最小值小于0．
因此可得

a+2＜0 a-2＞0 -a＞0

或

a+2＞0 a-2＜0 -a＜0

，解之得0＜a＜2．

點(diǎn)評：本題給出含有絕對值的函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性并研究函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)．著重考查了絕對值的意義、函數(shù)的單調(diào)性與最值和不等式的解法等知識，屬于中檔題．