Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和記為S_n，a₁=t，點(diǎn)（S_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，n∈N．
（I）當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列？
（Ⅱ）在（I）的結(jié)論下，設(shè)b_n=log₃a_n+1，T_n是數(shù)列的前n項(xiàng)和，求T₂₀₁₂的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用a_n=S_n-S_n-1（n≥2）可得a_n+1=3a_n，要使得當(dāng)n≥1時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列，則只需可求t
（II）由（I）可求b_n，結(jié)合數(shù)列的特點(diǎn)，考慮利用裂項(xiàng)相消可求數(shù)列的和
解答：解：（I）由題意可得，a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1（n≥2）
兩式相減可得，a_n+1-a_n=2a_n即a_n+1=3a_n
∴當(dāng)n≥2時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列
要使得當(dāng)n≥1時(shí)，{a_n}是等比數(shù)列，則只需
∴t=1
（II）由（I）可得，b_n=log₃a_n+1=n
∴==
∴=1-=
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的定義的應(yīng)用，數(shù)列的遞推公式a_n=S_n-S_n-1（n≥2）的應(yīng)用，數(shù)列的裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用．