Question

F（-c，0）是雙曲線(xiàn)

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)y²=4cx上一點(diǎn)，直線(xiàn)FP與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)E，且PE=FE，若雙曲線(xiàn)的焦距為2

5

+2，則雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為（　�。�

• A、

  10+2 5

  5

• B、

  20+4 5

  5

• C、4
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,直線(xiàn)與圓,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由中位線(xiàn)定理和直線(xiàn)和圓相切的性質(zhì)，確定∠FPF₂=90°，可得PF₂=2a，利用勾股定理可得PF²=FF'²-PF'²=4c²-4a²，再由拋物線(xiàn)的定義可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到FPF₂的長(zhǎng)，即有a，c的方程，代入雙曲線(xiàn)的c=

5

+1，建立方程，從而可求雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)2a．

解答： 解：拋物線(xiàn)y²=4cx的焦點(diǎn)F₂（c，0）
∵E為直線(xiàn)FP與以原點(diǎn)為圓心a為半徑的圓的切點(diǎn)，PE=EF
∴OE為直線(xiàn)FP的中垂線(xiàn) （O為原點(diǎn)），
∴OP=OF=c，
又FF₂=2c，O為FF₂中點(diǎn)，OP=c，
∴∠FPF₂=90°，
∵EO=a，∴PF₂=2a，
PF²=FF₂²-FPF₂²=4c²-4a²，
拋物線(xiàn)y²=4cx的準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-c，
由拋物線(xiàn)的定義可得PF₂═x_P+c=2a，
則x_P=2a-c，
即有P（2a-c，±

4c(2a-c)

），
PF²=4a²+4c（2a-c），
則4c²-4a²=4a²+4c（2a-c），
即c²=ac+a²
∵雙曲線(xiàn)的焦距為2

5

+2，
∴a²+（1+

5

）a-（1+

5

）²=0
∴a=

-(1+ 5 )± 5 (1+ 5 )

2

，
∴a₁=2，a₂=-

5

-3 （舍）
∴實(shí)軸長(zhǎng)為4．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓相切的性質(zhì)，考查雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性強(qiáng)．