【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為.

（1）求橢圓的方程式；

（2）已知?jiǎng)又本�與橢圓相交于兩點(diǎn).

①若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求斜率的值；

②已知點(diǎn)，求證： 為定值.

【答案】（1）＋＝1

（2）①±②見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）解：因?yàn)闄E圓C滿足 ，根據(jù)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，可得，據(jù)此即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）①設(shè)將代入中，消元得，然后再利用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求出結(jié)果；②由①知， ，所以代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可證明結(jié)果.

試題解析：（1）解：因?yàn)闄E圓C： 滿足 ，

根據(jù)橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為，

可得．

從而可解得，

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①解：設(shè)

將代入中，

消元得，

， ，

因?yàn)?/span>AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得．

②證明：由①知， ，

所以

．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線垂直，則（ ）

A. 2 B. 1 C. D.

【答案】A

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P(2,2)滿足圓的方程，所以P在圓上，

又過(guò)點(diǎn)P(2,2)的直線與圓相切，且與直線axy+1=0垂直，

所以切點(diǎn)與圓心連線與直線axy+1=0平行，

所以直線axy+1=0的斜率為： .

故選A.

點(diǎn)睛：對(duì)于直線和圓的位置關(guān)系的問(wèn)題，可用“代數(shù)法”或“幾何法”求解，直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，“代數(shù)法”與“幾何法”是從不同的方面和思路來(lái)判斷的，解題時(shí)不要單純依靠代數(shù)計(jì)算，若選用幾何法可使得解題過(guò)程既簡(jiǎn)單又不容易出錯(cuò)．

【題型】單選題
【結(jié)束】
23

【題目】設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)在雙曲線上，且，則 （ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若平面點(diǎn)集滿足：任意點(diǎn)，存在，都有，則稱該點(diǎn)集是“階聚合”點(diǎn)集�，F(xiàn)有四個(gè)命題：

①若，則存在正數(shù)，使得是“階聚合”點(diǎn)集；

②若，則是“階聚合”點(diǎn)集；

③若，則是“2階聚合”點(diǎn)集；

④若是“階聚合”點(diǎn)集，則的取值范圍是.

其中正確命題的序號(hào)為（ ）

A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中， 底面， ， ， ， 是棱上一點(diǎn)．

（I）求證： ．

（II）若， 分別是， 的中點(diǎn)，求證： 平面．

（III）若二面角的大小為，求線段的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)是直線（）上一動(dòng)點(diǎn)， 、是圓： 的兩條切線， 、為切點(diǎn)， 為圓心，若四邊形面積的最小值是，則的值是（ ）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】∵圓的方程為： ，

∴圓心C(0,1)，半徑r=1.

根據(jù)題意,若四邊形面積最小,當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小時(shí),即距離為圓心到直線l的距離最小時(shí),切線長(zhǎng)PA,PB最小。切線長(zhǎng)為4，

∴，

∴圓心到直線l的距離為.

∵直線（），

∴,解得，由

所求直線的斜率為

故選D.

【題型】單選題
【結(jié)束】
19

【題目】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，經(jīng)過(guò)且斜率為的直線與拋物線在軸上方的部分相交于點(diǎn)， ，垂足為，則的面積是 （ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知過(guò)點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn)．

(1)求k的取值范圍；

(2)若＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求|MN|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且.

(1)求該拋物線的方程；

(2) 為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，已知梯形與梯形全等， ， ， ， ， ， 為中點(diǎn).

（Ⅰ）證明： 平面

（Ⅱ）點(diǎn)在線段上(端點(diǎn)除外),且與平面所成角的正弦值為,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（、為常數(shù)）.若函數(shù)與的圖象在處相切，

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設(shè)函數(shù) ，若在上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值;

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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