設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且方程x2-anx-an=0有一根為Sn-1,n=1,2,3,….

(1)求a1,a2;

(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式,并給出嚴(yán)格的證明.

 

【答案】

(1) a1. a2 

(2)猜想Sn,n=1,2,3,….

【解析】(1)先令n=1,則s1-1即a1-1是方程的一個(gè)根,因而建立關(guān)于a1的方程求出a1的值.同理再利用n=2時(shí),求出a2.

(2)由條件可知(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,化簡得S-2Sn+1-anSn=0,

然后利用n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,把a(bǔ)n代入上式,消去an,就找到了sn與sn-1之間的遞推關(guān)系,求出s1,s2,s3,然后觀察規(guī)律,歸納出sn,再利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可

(1)當(dāng)n=1時(shí),x2-a1x-a1=0有一根為S1-1=a1-1,于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1. 當(dāng)n=2時(shí),x2-a2x-a2=0有一根為S2-1=a2, 于是(a2)2-a2(a2)-a2=0,解得a2 

(2)由題設(shè)(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,S-2Sn+1-anSn=0.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1,

代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0.①由(1)得S1=a1,S2=a1+a2.

由①可得S3.由此猜想Sn,n=1,2,3,….

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.

(i)n=1時(shí)已知結(jié)論成立.

(ii)假設(shè)n=k時(shí)結(jié)論成立,即Sk,當(dāng)n=k+1時(shí),由①得Sk+1,即Sk+1,故n=k+1時(shí)結(jié)論也成立.

綜上,由(i)、(ii)可知Sn對(duì)所有正整數(shù)n都成立.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn,且Sn=3n+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=an(2n-1),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn,a1=
3
2
,Sn=2an+1-3

(1)求a2,a3;
(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)bn=(2log
3
2
an+1)•an
,求數(shù)列bn的前n項(xiàng)的和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an+
3
2
×(-1)n-
1
2
,n∈N*
(Ⅰ)求an和an-1的關(guān)系式;
(Ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)證明:
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
10
9
,n∈N*

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

不等式組
x≥0
y≥0
nx+y≤4n
所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,若Dn內(nèi)的整點(diǎn)(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))個(gè)數(shù)為an(n∈N*
(1)寫出an+1與an的關(guān)系(只需給出結(jié)果,不需要過程),
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnTn=
Sn
5•2n
,若對(duì)一切的正整數(shù)n,總有Tn≤m成立,求m的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2n-1,則
S4
a3
的值為( 。

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