Question

在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，P為AB的中點(diǎn)，Q為CD₁的中點(diǎn)．
（1）求證：DP⊥平面A₁ABB₁；
（2）求證：PQ∥平面ADD₁A₁．

Answer 1

分析：（1）利用菱形和等邊三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理即可證明；
（2）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理即可證明．

解答：證明：（1）連接DB，由菱形ABCD可得AB=AD，又∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，
∵P為AB的中點(diǎn)，∴DP⊥AB．
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥DP．
又AA₁∩AB=A，∴DP⊥平面A₁ABB₁．
（2）取CD的中點(diǎn)E，連接PE，EQ，又Q為CD₁的中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線定理可得EQ∥DD₁，
∵EQ?平面ADD₁A₁．DD₁?平面ADD₁A₁．
∴EQ∥平面ADD₁A₁．
由于平行四邊形APED可得EP∥AD，同理可得EP∥平面ADD₁A₁．
∵EP∩EQ=E，∴平面EPQ∥平面ADD₁A₁．∴PQ∥平面ADD₁A₁．

點(diǎn)評：熟練掌握菱形和等邊三角形的性質(zhì)、線面垂直的判定定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、線面、面面平行的判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．