Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c有一個(gè)零點(diǎn)為-1，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有f（x）≥2x，且當(dāng)x屬于區(qū)間（0，2）時(shí)，有f（x）≤

(1+x)2

2

，
（1）求f（1）的值；
（2）求f（x）的解析式； 
（3）若g（x）=f（x）+

m

x

在區(qū)間（0，1）內(nèi)是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）由已知中對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有f（x）≥2x，且當(dāng)x屬于區(qū)間（0，2）時(shí)，有f（x）≤

(1+x)2

2

，可得2≤f（1）≤2，進(jìn)而可得f（1）=2；
（2）由函數(shù)零點(diǎn)為-1，推出a-b+c=0，利用f（x）-x≥0恒成立，推出ac≥

1

4

，結(jié)合a+c=1，求出a=c=

1

2

，即可得到函數(shù)的解析式．
（3）g（x）=f（x）+

m

x

=

1

2

x²+x+

1

2

+

m

x

，可得g′（x）=x+1-

m

x2

，由題意知：g′（x）≤0在區(qū)間（0，1）內(nèi)恒成立，即m≥x³+x²在區(qū)間（0，1）內(nèi)恒成立，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的范圍．

解答： 解：（1）∵對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有f（x）≥2x，
∴f（1）≥2，
又∵當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，有f（x）≤

(1+x)2

2

，
∴f（1）≤2，
∴f（1）=2，
（2）由函數(shù)零點(diǎn)為-1得f（-1）=0，即a-b+c=0，
又由（1）知a+b+c=2，
所以解得a+c=b=1．
又由對(duì)任意的實(shí)數(shù)x有f（x）≥2x，
∴f（x）-2x=ax²-x+c的△=1-4ac≤0，
因此ac≥

1

4

①
于是a＞0，c＞0．再由a+c=1，
得ac≤（

a+c

2

）²=

1

4

②
故ac=

1

4

，且a=c=

1

2

，
故f（x）的解析式是f（x）=

1

2

x²+x+

1

2

．
（3）g（x）=f（x）+

m

x

=

1

2

x²+x+

1

2

+

m

x

，
則g′（x）=x+1-

m

x2

，
若g（x）=f（x）+

m

x

在區(qū)間（0，1）內(nèi)是減函數(shù)，
則g′（x）≤0在區(qū)間（0，1）內(nèi)恒成立，
即x+1-

m

x2

≤0在區(qū)間（0，1）內(nèi)恒成立，
即m≥x³+x²在區(qū)間（0，1）內(nèi)恒成立，
∵y=x³+x²在區(qū)間（0，1）上為增函數(shù)，且當(dāng)x=1時(shí)，y=x³+x²=2，
故m≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，解析式的求法，均值不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．