Question

【題目】在一水域上建一個演藝廣場.演藝廣場由看臺Ⅰ，看臺Ⅱ，三角形水域，及矩形表演臺四個部分構成（如圖）.看臺Ⅰ，看臺Ⅱ是分別以， 為直徑的兩個半圓形區(qū)域，且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍；矩形表演臺中， 米；三角形水域的面積為平方米.設.

（Ⅰ）當時，求的長；

（Ⅱ）若表演臺每平方米的造價為萬元，求表演臺的最低造價.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)40；(Ⅱ)120萬元.

【解析】試題分析：（1）根據看臺的面積比得出AB，AC的關系，代入三角形的面積公式求出AB，AC，再利用余弦定理計算BC；（2）根據（1）得出造價關于θ的函數，利用導數判斷函數的單調性求出最小造價

解析：

（Ⅰ）因為看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，所以.

在△中， ，所以 .

由余弦定理可得

，即

所以 ， . 當時，

(Ⅱ）設表演臺的總造價為萬元.因為m，表演臺每平方米的造價為0.3萬元，所以 ， .

記， .則.

由，解得.

當時， ；當時， .

故在上單調遞減，在上單調遞增，

從而當 時， 取得最小值，最小值為. 所以 (萬元).