已知拋物線y2=2px(p>0),直線過(guò)點(diǎn)A(-2,-4),且傾斜角為45°.
(Ⅰ)若直線與拋物線交于M,N兩點(diǎn),且有|MN|2=|AM|•|AN|,求拋物線的方程;
(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)p,使得拋物線上存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的不同的兩點(diǎn),若存在,求出p的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
考點(diǎn):拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專(zhuān)題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(Ⅰ)直線的方程為y+4=x+2,即x-y-2=0,與拋物線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,結(jié)合|MN|2=|AM|•|AN|,求拋物線的方程;
(Ⅱ)假設(shè)存在p,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為G(x0,y0).求出PQ的方程為y=-x+m,與拋物線聯(lián)立,利用韋達(dá)定理即可得出結(jié)論.
解答: 解:(Ⅰ)直線的方程為y+4=x+2,即x-y-2=0.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)為方程組
y2=2px
x-y-2=0
的解.
化簡(jiǎn)得y2-2py-4p=0.
∴y1+y2=2p,y1y2=-4p.|MN|2=2(y2-y12=8p(p+4)
∴|AM|•|AN|=
2
|y1+4|•
2
|y2+4|=2|y1y2+4(y1+y2)+16|=8(p+4)

∴8p(p+4)=8(p+4).∵p>0,∴p=1.
∴所求拋物線方程為y2=2x.
(Ⅱ)假設(shè)存在p,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)是拋物線上關(guān)于對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn),線段PQ的中點(diǎn)為G(x0,y0).
PQ垂直直線,故PQ的方程為y=-x+m.
y=-x+m
y2=2px
得y2+2py-2pm=0.
∴y1+y2=-2p,于是y0=-p.∴x0=m+p.
∵點(diǎn)G在直線上,故有m+p-(-p)-2=0.
∴m=2-2p.y2+2py-2p(2-2p)=0.
由△=4p2+8p(2-2p)>0,即3p2-4p<0,解得0<p<
4
3

∴當(dāng)0<p<
4
3
時(shí),拋物線y2=2px上存在關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn).
點(diǎn)評(píng):本題考查滿足條件的直線是否存在的判斷,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,a+b+c=0,f(0)•f(1)>0,求證:
(1)f(x)=0有實(shí)根;
(2)-2<
b
a
<-1.

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已知函數(shù)f(x)=ex-ax.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)a>0時(shí),若?x∈R,f(x)≥1,求實(shí)數(shù)a的取值集合.

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如圖O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn),且
OA
+k•
OB
+t•
OC
=
0
,(k,t∈R)

(Ⅰ)若O是△ABC的重心,寫(xiě)出k,t的值;
(Ⅱ)若O是△ABC的外心,且k=
3
,t=
6
,求cos∠AOB的值;
(Ⅲ)若O是△ABC的外心,且AB=2,AC=3,求
OA
BC
的值.

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如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,PA=PD,PA⊥AB,點(diǎn)E、F分別是棱AD、BC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB⊥PD;
(Ⅱ)若AB=AP,求平面PAD與平面PBC所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)若△PAD的面積為1,在四棱錐P-ABCD內(nèi)部,放入一個(gè)半徑為R的球O,且球心O在截面PEF中,試探究R的最大值,并說(shuō)明理由.

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已知數(shù)列{an}為遞增等差數(shù)列,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的兩根.?dāng)?shù)列{bn}為等比數(shù)列,且b1=a2,b4=a52
(Ⅰ)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若cn=an•bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn

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設(shè)f(x)=|x-3|+|x-4|
(Ⅰ)求函數(shù)g(x)=
2-f(x)
的定義域;
(Ⅱ)若存在實(shí)數(shù)x滿足f(x)≤ax-1,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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如圖,已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6,∠BAD=60°,AC∩BD=O,將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起,使BD=3
2
,得到三棱錐B-ACD

(1)若CM=2MB,求證:直線OM與平面ABD不平行;
(2)求二面角A-BD-O的余弦值;
(3)設(shè)點(diǎn)N是線段BD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定N點(diǎn)的位置,使得CN=4
2
,并證明你的結(jié)論.

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若向量
a
=(4,0),
b
=(2,2),則|
a
-
b
|=
 

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