Question

已知函數(shù)．
（1）若是函數(shù)，y=F（x）的極值點，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)y=f（x）在[1，2]上有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先求出及其導(dǎo)數(shù)
（1）是函數(shù)，y=F（x）的極值點，故由此方程求a即可
（2）函數(shù)y=F（x）（x∈（0，3]）的圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，此條件可以轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在x∈（0，3]的最大值小于等于，
（3）可將函數(shù)在[1，2]上有兩個零點的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程有兩個根，分離出參數(shù)a，得到a²=-x²+3x在x∈[1，2]上有兩個不等實根，由二次函數(shù)的性質(zhì)求得-x²+3x在x∈[1，2]上的值域，根據(jù)函數(shù)的圖象即可得到參數(shù)a所滿足的條件，a＞0，解之即得所求的實數(shù)a的取值范圍
解答：解：，（2分）
（1）且a＞0，∴a=1（4分）
（2）對任意的x∈（0，3]恒成立（5分）
∴2a²≥-x²+2x對任意的x∈（0，3]恒成立，
∴2a²≥（-x²+2x）_max，而當(dāng)x=1時，-x²+2x=-（x-1）²+1取最大值為1，
∴2a²≥1，且a＞0，∴（8分）
（3）因為函數(shù)在[1，2]上有兩個零點，
所以方程a²=-x²+3x在x∈[1，2]上有兩個不等實根（a＞0）（10分）
又因為函數(shù)在x∈[1，2]內(nèi)的值域為（12分）
由函數(shù)圖象可得：，a＞0，所以：，
即實數(shù)a的取值范圍是（14分）
點評：本題考點是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了求導(dǎo)的運算，極值存在的條件，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及函數(shù)的零點與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，本題綜合性強，轉(zhuǎn)化靈活，能答題者觀察轉(zhuǎn)化的能力要求較高．