已知a∈R,函數(shù),g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)x∈(0,e],使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直?若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】分析:(1)討論滿足f′(x)=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況,來(lái)確定極值,將f(x)的各極值與其端點(diǎn)的函數(shù)值比較,其中最小的一個(gè)就是最小值;
(2)將曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直轉(zhuǎn)化成方程g'(x)=0有實(shí)數(shù)解,只需研究導(dǎo)函數(shù)的最小值即可.
解答:解:(1)∵,

令f'(x)=0,得x=a.
①若a≤0,則f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞增,此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)最小值.
②若0<a<e,當(dāng)x∈(0,a)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞減,
當(dāng)x∈(a,e]時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,e]上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)x=a時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值lna
③若a≥e,則f'(x)≤0,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)x=e時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值
.綜上可知,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上無(wú)最小值;
當(dāng)0<a<e時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為lna;
當(dāng)a≥e時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為
(2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,x∈(0,e],
∴g'(x)=(lnx-1)ex+(lnx-1)(ex+1=
由(1)可知,當(dāng)a=1時(shí),
此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,e]上的最小值為ln1=0,即.(10分)
當(dāng)x∈(0,e],,

曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直等價(jià)于方程g'(x)=0有實(shí)數(shù)解.(13分)
而g'(x)>0,即方程g'(x)=0無(wú)實(shí)數(shù)解.、故不存在x∈(0,e],使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,以及利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,屬于中檔題.
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(本小題滿分14分)

已知a∈R,函數(shù),g(x)=(lnx-1)ex+x(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)判斷函數(shù)f(x)在上的單調(diào)性;(2)是否存在實(shí)數(shù),使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x0處的切線與y軸垂直? 若存在,求出x0的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)若實(shí)數(shù)m,n滿足m>0, n>0,求證:nnemmnen.

 

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(2)是否存在實(shí)數(shù)x∈(0,e],使曲線y=g(x)在點(diǎn)x=x處的切線與y軸垂直?若存在,求出x的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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