Question

1．設(shè)向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為135°，且$|\overrightarrow a|=\sqrt{2}，|\overrightarrow b|=2$；
（1）求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的值；
（2）設(shè)$\overrightarrow c=x\overrightarrow a-\overrightarrow b（x∈R）$，當(dāng)$|\overrightarrow c|$取得最小值時，求向量$\overrightarrow c$與$\overrightarrow b$夾角的大小．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量的數(shù)量積運算即可，
（2）根據(jù)向量的模和二次函數(shù)的性質(zhì)求出x的值，再根據(jù)向量的夾角的公式計算即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為135°，且$|\overrightarrow a|=\sqrt{2}，|\overrightarrow b|=2$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|•cos135°=$\sqrt{2}$×2×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-2，
（2）設(shè)$\overrightarrow c=x\overrightarrow a-\overrightarrow b（x∈R）$，
∴|$\overrightarrow{c}$|²=x²${\overrightarrow{a}}^{2}$-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=2x²+4x+4=2（x+1）²+2≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時取等號，
∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow$=$\overrightarrow$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=-2+4=2
當(dāng)$|\overrightarrow c|$取得最小值為$\sqrt{2}$，
設(shè)向量$\overrightarrow c$與$\overrightarrow b$夾角為θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow|}$=$\frac{2}{2×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=45°

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的定義以及向量的夾角公式，求向量的模的方法，屬于中檔題．