Question

已知函數(shù)f（x）=

x2，x∈(-∞，0) 2cosx，x∈(0，π)

，若f[f（x₀）]=0，則x₀=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)f（x）=x²＞0，若f[f（x₀）]=0，則f（x₀）的函數(shù)值為0，不可能，從而f（x₀）∈（0，π）
易推f[f（x₀）]=0中f（x₀）=

π

2

，分①當(dāng)x₀∈（-∞，0）及②當(dāng)x₀∈（0，π）時(shí)兩種情況討論函數(shù)值求出x₀的值．

解答： 解：當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，∵f（x）=x²＞0，
若f[f（x₀）]=0，則f（x₀）的函數(shù)值為0，不可能；
∴f（x₀）∈（0，π）
∵cos

π

2

=0，∴f[f（x₀）]=0中f（x₀）=

π

2

，
①當(dāng)x₀∈（-∞，0）時(shí)，x₀²=

π

2

，∴x₀=-

π 2

=-

2π

2

，
②當(dāng)x₀∈（0，π）時(shí)，2cosx₀=

π

2

，∴cosx₀=

π

4

，∴x₀=arccos

π

4

，
綜上：x₀=-

2π

2

，或x₀=arccos

π

4

，
故答案為：-

2π

2

或arccos

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：分段函數(shù)分段處理，這是研究分段函數(shù)圖象和性質(zhì)最核心的理念，具體做法是：根據(jù)自變量不同的分段，利用相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式代換解題．