Question

已知f(x)=

1

3

x3-

1

2

(a+1)x2+ax(a≠1)
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若y=f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由a大于1和a小于1分兩種情況考慮分別令導(dǎo)函數(shù)的值大于0，求出x的范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間；導(dǎo)函數(shù)值小于0時(shí)，求出x的范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間；
（2）由（1）的導(dǎo)函數(shù)值為0時(shí)x的值為函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，故分a大于1和a小于1時(shí)兩種情況分別求出f（x）的極大值和極小值，又f（x）函數(shù)圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，即極大值與極小值的乘積小于0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）f′（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），
當(dāng)a＞1時(shí)，由f′（x）＞0得x＜1或x＞a，
∴x∈（-∞，1）和（a，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，x∈（1，a）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)a＜1時(shí)，由f′（x）＞0，得x＜a或x＞1，
∴x∈（-∞，a）和（1，+∞）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，x∈（a，1）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減．
（2）由（1）知x=1和x=a是f（x）得極值點(diǎn)，
a＞1時(shí)，f（1）是極大值，f（a）是極小值；a＜1時(shí)，f（a）是極大值，f（1）是極小值，
又y=f（x）的圖象與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，
∴f（1）•f（a）＜0，即

1

2

(a-

1

3

)•[-

1

6

a2(a-3)]＜0，
∴(a-3)(a-

1

3

)＞0，
∴a＞3或a＜

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．導(dǎo)函數(shù)的值與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系為：令導(dǎo)函數(shù)的值大于0，求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)的值小于0，求出x的取值范圍即為函數(shù)的遞減區(qū)間．