Question

斜率為2的直線l在雙曲線

x2

3

-

y2

2

=1上截得的弦長為

6

，求l的方程．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設直線l的方程為y=2x+b，設l和雙曲線的兩交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程帶入雙曲線方程可得到關于x的一元二次方程，根據(jù)韋達定理可用b表示x₁+x₂，x₁x₂，然后求弦長等于

6

，這樣可得到關于b的方程，解方程即得b的值，從而便求出來直線l的方程．

解答： 解：設直線l的方程為y=2x+b，直線l和雙曲線的交點分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則將y=2x+b帶入

x2

3

-

y2

2

=1并整理得：
10x²+12bx+3b²+6=0；
∴x1+x2=-

6b

5

，x1x2=

3b2+6

10

；
∴|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

36b2 25 - 12b2+24 10

=

6

；
∴解得b²=15，∴b=±

15

；
∴直線l的方程為：y=2x-

15

，或y=2x+

15

．

點評：考查直線的斜截式方程，直線和雙曲線的相交弦的概念，弦長公式以及韋達定理．