Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足與的等差中項(xiàng)為（）.

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在正整數(shù)，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）設(shè) ，若集合恰有個(gè)元素，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）11；（3）

【解析】試題分析：

（1）由題意得，遞推作差，得，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可求解通項(xiàng)公式；

（2）原問(wèn)題等價(jià)于（）恒成立，可分為奇數(shù)恒成立， 為偶數(shù)時(shí)，等價(jià)于恒成立，利用函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解；

（3）由（1）得，判定出數(shù)列的單調(diào)性，求得的值，集合題意集合即可得出 的范圍.

試題解析：

（1）由與的等差中項(xiàng)為得，①

當(dāng)時(shí)， ②

①②得， ，有因?yàn)樵冖僦辛?/span>，得

是以，公比為的等比數(shù)列

數(shù)列的通項(xiàng)公式為

（2）原問(wèn)題等價(jià)于（）恒成立.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)不等式恒成立；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，等價(jià)于恒成立，令， ，則等價(jià)于對(duì)恒成立， 故在上遞增

故即故正整數(shù)的最大值為

（3）由 及

得，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，

， ， ， ，

由集合恰有個(gè)元素，得