Question

已知函數(shù).

⑴ 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

⑵ 如果對于任意的，總成立，求實數(shù)的取值范圍；

⑶ 設(shè)函數(shù)，. 過點作函數(shù)圖像的所有切線，令各切點的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的所有項之和的值.

 

Answer 1

【答案】

(1) .;(2) .(3) .

【解析】

試題分析：(1)利用求導(dǎo)的基本思路求解，注意導(dǎo)數(shù)的四則運算；（2）利用轉(zhuǎn)化思想將問題轉(zhuǎn)化為總成立，只需時.借助求導(dǎo)，研究的性質(zhì)，通過對參數(shù)k的討論和單調(diào)性的分析探求實數(shù)的取值范圍；（3）化簡函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義求解曲線的切線方程，化簡得到，分析得到，，則這兩個函數(shù)的圖像均關(guān)于點對稱進行求解數(shù)列的所有項之和的值.

試題解析：(1) 由于，所以

.                          (2分)

當(dāng)，即時，；

當(dāng)，即時，.

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，

單調(diào)遞減區(qū)間為.                                                             (4分)

(2) 令，要使總成立，只需時.

對求導(dǎo)得，

令，則，()

所以在上為增函數(shù)，所以.                                                (6分)

對分類討論：

 

① 當(dāng)時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，所以，即恒成立；

② 當(dāng)時，在上有實根，因為在上為增函數(shù)，

所以當(dāng)時，，所以，不符合題意；

③ 當(dāng)時，恒成立，所以在上為減函數(shù)，則，不符合題意.

綜合①②③可得，所求的實數(shù)的取值范圍是.                                                       (9分)

 (3) 因為，所以，

設(shè)切點坐標(biāo)為，則斜率為，

切線方程為，                        (10分)

將的坐標(biāo)代入切線方程，得

，即，                                      

令，，則這兩個函數(shù)的圖像均關(guān)于點對稱，

它們交點的橫坐標(biāo)也關(guān)于對稱成對出現(xiàn)，方程，

的根即所作的所有切線的切點橫坐標(biāo)構(gòu)成的數(shù)列的項也關(guān)于對稱成對出現(xiàn)，在內(nèi)共構(gòu)成1006對，每對的和為，因此數(shù)列的所有項的和. (12分)

考點：1.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力；2.用導(dǎo)數(shù)來描述函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)零點的情況.