解:(1)證明:∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,且函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53850.png)
,x≠0 滿足
∴對任意的非零實數(shù)x,都有 f(-x)=-x+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128799.png)
=-(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/30123.png)
)=-f(x),
函數(shù)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53850.png)
,x≠0是奇函數(shù). (5分)
(2)設(shè) 0<x
1<x
2<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,則 f(x
1)-f(x
2)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53851.png)
-(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53852.png)
)
=(x
1-x
2)-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128800.png)
=(x
1-x
2) (1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128801.png)
).
由0<x
1<x
2,可得(x
1-x
2)<0,(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128801.png)
)<0,
∴(x
1-x
2) (1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128801.png)
)>0,f(x
1)>f(x
2),故函數(shù)在(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
)上單調(diào)遞減.
設(shè)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
<x
1<x
2,同理可得 f(x
1)-f(x
2)=(x
1-x
2) (1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128801.png)
),
由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
<x
1<x
2,可得(x
1-x
2)<0,(1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128801.png)
)>0,
∴(x
1-x
2) (1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128801.png)
)<0,f(x
1)<f(x
2),故函數(shù)在(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1429.png)
)上單調(diào)遞增.(10分)
(3)由于函數(shù)在(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
)上單調(diào)遞減,在[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6602.png)
]上單調(diào)遞增,
故當x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
時,函數(shù)有最小值等于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3216.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128802.png)
=2
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
.
又 f(1)=1+2=3,f(4)=4+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/29836.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/190.png)
,故函數(shù)在[1,4]上的最大值為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/190.png)
.(14分)
分析:(1)由函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,對任意的非零實數(shù)x,都有 f(-x)=-f(x),即可證明函數(shù)為奇函數(shù).
(2)設(shè) 0<x
1<x
2<
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
,化簡f(x
1)-f(x
2) 的解析式為(x
1-x
2) (1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/128801.png)
)>0,可得函數(shù)在
(0,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
)上單調(diào)遞減,同理可證函數(shù)在(
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/1429.png)
)上單調(diào)遞增.
(3)由于函數(shù)在(1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
)上單調(diào)遞減,在[
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/6602.png)
]上單調(diào)遞增,故當x=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/53.png)
時,函數(shù)有最小值等于
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/3216.png)
,
f(1)和f(4)中較大的就是函數(shù)在[1,4]上的最大值.
點評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的證明,利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,屬于基礎(chǔ)題.