Question

對(duì)于（1+2x）ⁿ（n∈N^*）的展開(kāi)式，當(dāng)n≥8時(shí)，若從二項(xiàng)式系數(shù)中任取一項(xiàng)，使這個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)小于

C

8 n

的概率大于0.7，求n的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：二項(xiàng)式定理

分析：由題意可得，所有的取法共有n+1項(xiàng)，當(dāng)8≤n≤16時(shí)，由

C

r n

=

C

n-r n

可得二項(xiàng)式系數(shù)共有2（n-8）個(gè)數(shù)，由

2n-16

n+1

≥0.7，求得n的范圍．當(dāng)n≥17時(shí)，此時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)小于

C

8 n

的有16個(gè)數(shù)，由

16

n+1

≥0.7，求得n的范圍，綜合可得n的取值范圍．

解答： 解：所有的取法共有n+1項(xiàng)，當(dāng)8≤n≤16時(shí)，由

C

r n

=

C

n-r n

可得二項(xiàng)式系數(shù)共有2（n-8）個(gè)數(shù)，
故概率為

2n-16

n+1

，它的值隨著n的增大而增大，由

2n-16

n+1

≥0.7，求得n=13，14，15，16．
當(dāng)n≥17時(shí)，此時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)小于

C

8 n

的有

C

0 n

=

C

n n

，…，

C

7 n

=

C

n-7 n

，共計(jì)2×8=16個(gè)數(shù)．
由

16

n+1

≥0.7，求得n≤21．
故n的范圍為{13，14，15，16，17，18，19，20，21}．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．