【題目】已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線分別交拋物線和圓于點(diǎn)(自上而下)．

（1）求證：為定值；

（2）若、、成等差數(shù)列，求直線的方程．

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）討論當(dāng)直線過焦點(diǎn)且垂直于軸時(shí)，四點(diǎn)坐標(biāo)可直接求出，可求得，當(dāng)直線過焦點(diǎn)且不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和拋物線的定義，即可得到定值；

（1）由、、成等差數(shù)列，可得，從而可得，而，，列方程可求出斜率，從而可求出直線方程.

（1）由題知，焦點(diǎn)，圓半徑；

①當(dāng)斜率不存在時(shí)，，交點(diǎn)，此時(shí)；

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，

聯(lián)立，消去得

由韋達(dá)定理得，顯然恒成立

由拋物線定義得，同理，

所以．

（2）由成等差數(shù)列，得

所以弦長

由（1）知顯然斜率存在，由拋物線定義得

故，解得，

所以直線的方程為．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓（a＞b＞0）的短軸長為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）斜率為1且經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于P1、P2兩點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，若（λ，μ∈R），證明：λ2+μ2為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某省即將實(shí)行新高考，不再實(shí)行文理分科.某校為了研究數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀是否對選擇物理有影響，對該校2018級的1000名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，收集到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：

（1）根據(jù)以上提供的信息，完成列聯(lián)表，并完善等高條形圖；

選物理

不選物理

總計(jì)

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀

數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀

260

總計(jì)

600

1000

（2）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與選物理有關(guān)？

附：

臨界值表：

0.10

0.05

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求直線的普通方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)是曲線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，求經(jīng)過點(diǎn)且與直線平行的直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線AG，BG相交于點(diǎn)G，且它們的斜率之積為.記點(diǎn)G的軌跡為曲線C.

（1）若射線與曲線C交于點(diǎn)D，且E為曲線C的最高點(diǎn)，證明：.

（2）直線與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN與y軸分別交于P，Q兩點(diǎn).試問在x軸上是否存在定點(diǎn)T，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)T？若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（1）設(shè)兩點(diǎn)，，且，若函數(shù)的圖象分別在點(diǎn)、處的兩條切線互相垂直，求的最小值；

（2）若對任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某校冬季長跑活動中，學(xué)校要給獲得一、二等獎(jiǎng)的學(xué)生購買獎(jiǎng)品，要求花費(fèi)總額不得超過元.已知一等獎(jiǎng)和二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品的單價(jià)分別為元、元，一等獎(jiǎng)人數(shù)與二等獎(jiǎng)人數(shù)的比值不得高于，且獲得一等獎(jiǎng)的人數(shù)不能少于人，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）

A.最多可以購買份一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品

B.最多可以購買份二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)品

C.購買獎(jiǎng)品至少要花費(fèi)元

D.共有種不同的購買獎(jiǎng)品方案

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在某外國語學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng)．按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績作為樣本,得到成績的頻率分布直方圖如圖所示．

(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；

(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”．

女生

男生

總計(jì)

獲獎(jiǎng)

不獲獎(jiǎng)

總計(jì)

附表及公式：

其中,．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】“工資條里顯紅利，個(gè)稅新政人民心”我國自1980年以來，力度最大的一次個(gè)人所得稅（簡稱個(gè)稅）改革迎來了全面實(shí)施的階段.2019年1月1日實(shí)施的個(gè)稅新政主要內(nèi)容包括：（1）個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元；（2）每月應(yīng)納稅所得額（含稅）收人個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除；（3）專項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等.新舊個(gè)稅政策下每月應(yīng)納稅所得額（含稅）計(jì)算方法及其對應(yīng)的稅率表如下：

舊個(gè)稅稅率表（個(gè)稅起征點(diǎn)3500元）

新個(gè)稅稅率表（個(gè)稅起征點(diǎn)5000元）

繳稅基數(shù)

每月應(yīng)納稅所得額（含稅）收入個(gè)稅起征點(diǎn)

稅率（%）

每月應(yīng)納稅所得額（含稅）收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除

稅率（%）

1

不超過1500元的部分

3

不超過3000元的部分

3

2

超過1500元至4500元的部分

10

超過3000元至12000元的部分

10

3

超過4500元至9000元的部分

20

超過12000元至25000元的部分

20

4

超過9000元至35000元的部分

25

超過25000元至35000元的部分

25

5

超過35000元至55000元的部分

30

超過35000元至55000元的部分

30

…

…

…

…

…

隨機(jī)抽取某市2020名同一收入層級的從業(yè)者的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們2019年的人均月收入24000元，統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專項(xiàng)扣除；同時(shí)，他們每人至多只有一個(gè)符合子女教育扣除的孩子，并且他們中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是；此外，他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣除，新個(gè)稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，贍養(yǎng)老人2000元/月等.假設(shè)該市該收入層級的從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級的從業(yè)者的人均月收入視為其個(gè)人月收入，根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決如下問題：

（1）求在舊政策下該收入層級的從業(yè)者每月應(yīng)納的個(gè)稅；

（2）設(shè)該市該收入層級的從業(yè)者2019年月繳個(gè)稅為X元，求X的分布列和期望；

（3）根據(jù)新舊個(gè)稅方案，估計(jì)從2019年1月開始，經(jīng)過多少個(gè)月，該市該收入層級的從業(yè)者各月少繳納的個(gè)稅之和就超過2019年的人均月收入？

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