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已知二次函數f（x）的二次項系數為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數，求a的取值范圍．
【答案】分析：（Ⅰ）f（x）為二次函數且二次項系數為a，把不等式f（x）＞-2x變形為f（x）+2x＞0因為它的解集為（1，3），則可設f（x）+2x=a（x-1）（x-3）且a＜0，解出f（x）；又因為方程f（x）+6a=0有兩個相等的根，利用根的判別式解出a的值得出f（x）即可；（Ⅱ）因為f（x）為開口向下的拋物線，利用公式當x=時，最大值為=和a＜0聯立組成不等式組，求出解集即可．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）+2x＞0的解集為（1，3）．f（x）+2x=a（x-1）（x-3），且a＜0．因而f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax2-（2+4a）x+3a．①
由方程f（x）+6a=0得ax2-（2+4a）x+9a=0．②
因為方程②有兩個相等的根，所以△=[-（2+4a）]2-4a•9a=0，
即5a2-4a-1=0．解得a=1或a=-
由于a＜0，舍去a=1．將a=-代入①得f（x）的解析式
（Ⅱ）由
及a＜0，可得f（x）的最大值為就
由解得a＜-2-或-2+＜a＜0．
故當f（x）的最大值為正數時，實數a的取值范圍是
點評：考查學生函數與方程的綜合運用能力．
練習冊系列答案
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（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
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f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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