Question

若函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，則對(duì)一切x＞0，y＞0滿足f（xy）=f（x）+f（y），則不等式f（x+6）+f（x）＜2f（4）的解集為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件可得，不等式即 f[x（x+6）]＜f（16），得到關(guān)于x的不等式組，解得即可

解答： 解：：∵對(duì)一切x，y＞0滿足f（x）+f（y）=f（x•y），
∴2f（4）=f（4）+f（4）=f（16）
∵f（x+6）+f（x）＜2f（4），
∴f[x（x+6）]＜f（16），
∵函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
即 f[x（x+6）]＜f（4×4），
∴

x+6＞0 x＞0 0＜x(x+6)＜16

，
解得 0＜x＜2，
故不等式的解集為（0，2）
故答案為：（0，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．