【題目】已知函數(shù).

（1）求的極值；

（2）若，且，證明：.

【答案】（1）極大值為；的極小值為；（2）見解析

【解析】

（1）求導求出，求出單調(diào)區(qū)間，進而求出極值；

（2）由（1），結(jié)合極值點考慮與的大小關(guān)系，在為減函數(shù)，只需比較與大小關(guān)系，而，轉(zhuǎn)化為比較與比較大小，構(gòu)造函數(shù)，，通過求導求出的單調(diào)性，即可得出的不等量關(guān)系，同理構(gòu)造函數(shù)，得出的不等量關(guān)系，即可證明結(jié)論.

（1）解：因為，

所以，

所以當時，；

當時，，

則的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

故的極大值為；

的極小值為.

（2）證明：由（1）知.

設函數(shù)，，

，

則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，

故，即在上恒成立.

因為，所以.

因為，且在上單調(diào)遞減，

所以，即.①

設函數(shù)，，

，

則在上恒成立，即在上單調(diào)遞增，

故，即在上恒成立.

因為，所以.

因為，，且在上單調(diào)遞增，

所以，即.②

結(jié)合①②，可得.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，直三棱柱中， ， ， 是的中點，△是等腰三角形， 為的中點， 為上一點；

（1）若∥平面，求；

（2）平面將三棱柱分成兩個部分，求含有點的那部分體積；

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】近來天氣變化無常，陡然升溫、降溫幅度大于的天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多.陡然降溫幅度大于容易引起幼兒傷風感冒疾病.為了解傷風感冒疾病是否與性別有關(guān)，在某婦幼保健院隨機對人院的名幼兒進行調(diào)查,得到了如下的列聯(lián)表,若在全部名幼兒中隨機抽取人，抽到患傷風感冒疾病的幼兒的概率為,

(1)請將下面的列聯(lián)表補充完整;

患傷風感冒疾病

不患傷風感冒疾病

合計

男

25

女

20

合計

100

(2)能否在犯錯誤的概率不超過的情況下認為患傷風感冒疾病與性別有關(guān)?說明你的理由;

(3)已知在患傷風感冒疾病的名女性幼兒中,有名又患黃痘病.現(xiàn)在從患傷風感冒疾病的名女性中,選出名進行其他方面的排查,記選出患黃痘病的女性人數(shù)為,求的分布列以及數(shù)學期望.下面的臨界值表供參考:

參考公式：，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，∠ADP＝90°，面ADP⊥面ABCD，點F為棱PD的中點．

（1）在棱AB上是否存在一點E，使得AF∥面PCE，并說明理由；

（2）當二面角D﹣FC﹣B的余弦值為時，求直線PB與平面ABCD所成的角．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某茶樓有四類茶飲，假設為顧客準備泡茶工具所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，經(jīng)統(tǒng)計以往為100位顧客準備泡茶工具所需的時間，結(jié)果如下：

類別

鐵觀音

龍井

金駿眉

大紅袍

顧客數(shù)（人）

20

30

40

10

時間（分鐘/人）

2

3

4

6

注：服務員在準備泡茶工具時的間隔時間忽略不計，并將頻率視為概率.

（1）求服務員恰好在第6分種開始準備第三位顧客的泡茶工具的概率；

（2）用表示至第4分鐘末已準備好了工具的顧客人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的極值；

（2）設，對任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】魯班鎖是中國傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙．從外觀上看，是嚴絲合縫的十字立方體，其上下、左右、前后完全對稱；六根等長的正四棱柱分成三組，經(jīng)90°榫卯起來．如圖所示，正四棱柱的高為8，底面正方形的邊長為1，將這個魯班鎖放進一個球形容器內(nèi)，則該球形容器半徑的最小值為（容器壁的厚度忽略不計）（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給定下列四個命題

若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；

若一條直線和兩個互相垂直的平面中的一個平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個平面；

若一條直線和兩個平行平面中的一個平面垂直，那么這條直線也和一個平面垂直；

若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直，

其中，真命題的個數(shù)是　　

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線過點，其參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為

（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；

（2）已知曲線與曲線交于，兩點，且，求實數(shù)的值.

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