在平面直角坐標(biāo)系x0y中,已知以O(shè)為圓心的圓與直線l:y=mx+(3-4m)(m∈R)恒有公共點(diǎn),且要求使圓O的面積最�。�
(1)證明直線過(guò)定點(diǎn)M,求出此點(diǎn)的坐標(biāo)及圓O的方程;
(2)已知定點(diǎn)Q(-4,3),直線l與圓O交于M、N兩點(diǎn),試判斷×tan∠MQN是否有最大值,若存在求出最大值,并求出此時(shí)直線l的方程,若不存在,給出理由.
(3)圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn),圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使||、||、||成等比數(shù)列,求的范圍.
【答案】分析:(1)依題意可知直線過(guò)定點(diǎn),要求使圓O的面積最小,則定點(diǎn)在圓上,求出半徑即可求圓的方程;
(2)利用×tan∠MQN,可得到等價(jià)關(guān)系即三角形面積,容易確定圓上的點(diǎn)到已知線段的最大距離,可求出直線l的方程;
(3)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)P的坐標(biāo),利用||、||、||成等比數(shù)列,得到相等關(guān)系式,P在圓內(nèi),得到不等式,從而可求數(shù)量積的范圍.
解答:解:(1)因?yàn)橹本€l:y=mx+(3-4m)過(guò)定點(diǎn)T(4,3)
由題意,要使圓O的面積最小,定點(diǎn)T(4,3)在圓上,所以圓O的方程為x2+y2=25;
(2)存在直線方程2x-y-5=0,符合題意,理由如下
×tan∠MQN=×sin∠MQN=2S△MQN
由題意,得直線l與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為M(4,3),又知定點(diǎn)Q(-4,3),
∴直線lMQ:y=3,|MQ|=8,∴當(dāng)N(0,-5)時(shí),S△MQN有最大值32.
×tan∠MQN有最大值為64,此時(shí)直線l的方程為2x-y-5=0.
(3)A(-5,0),B(5,0),設(shè)P(x,y),則x2+y2<25   ①
由||、||、||成等比數(shù)列,得||2=||•||,
=(-5-x,-y),=(5-x,-y),
∴x2+y2=,整理得:x2-y2=,即x2=y2+
由①②得:0≤y2,
=(x2-25)+y2=2y2-
∈[,0).
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與圓的位置關(guān)系,向量的數(shù)量積,等比數(shù)列,考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)直線y=
3
x+2m
和圓x2+y2=n2相切,其中m,n∈N,0<|m-n|≤1,若函數(shù)f(x)=mx+1-n的零點(diǎn)x0∈(k,k+1)k∈Z,則k=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•鹽城二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓x2+
y2
4
=1在第一象限的部分為曲線C,曲線C在其上動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)處的切線l與x軸和y軸的交點(diǎn)分別為A、B,且向量
OM
=
OA
+
OB

(1)求切線l的方程(用x0表示);
(2)求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中.橢圓C:
x2
2
+y2=1
的右焦點(diǎn)為F,右準(zhǔn)線為l.
(1)求到點(diǎn)F和直線l的距離相等的點(diǎn)G的軌跡方程.
(2)過(guò)點(diǎn)F作直線交橢圓C于點(diǎn)A,B,又直線OA交l于點(diǎn)T,若
OT
=2
OA
,求線段AB的長(zhǎng);
(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0,y0),x0≠0,直線OM交直線
x0x
2
+y0y=1
于點(diǎn)N,且和橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P,是否存在實(shí)數(shù)λ,使得
OP
2
OM
ON
?
,若存在,求出實(shí)數(shù)λ;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy(O為坐標(biāo)原點(diǎn))中,橢圓E1
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)在圓E2:x2+y2=a+b上,且橢圓的離心率是
3
2

(Ⅰ)求橢圓E1和圓E2的方程;
(Ⅱ)是否存在經(jīng)過(guò)圓E2上的一點(diǎn)P(x0,y0)的直線l,使l與圓E2相切,與橢圓E1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B,且
OA
OB
=3?若存在,求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x0的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•南京二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
過(guò)點(diǎn)A(
a
2
,
a
2
),B(
3
,1)

(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上,F(xiàn)為橢圓的左焦點(diǎn),直線l的方程為x0x+3y0y-6=0.
①求證:直線l與橢圓C有唯一的公共點(diǎn);
②若點(diǎn)F關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Q,求證:當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí),直線PQ恒過(guò)定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).

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